【ฉบับพิมพ์หนังสือเรียน ร.ต. จีน】ภาษาอังกฤษ มัธยมต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ภาคเรียนที่ 1: เรื่องลับของเครื่องชั่งน้ำหนัก: คุณสมบัติพื้นฐานของสมการ

สมการเหมือนกับเครื่องชั่งน้ำหนักที่แม่นยำในโลกคณิตศาสตร์ การแก้สมการนั้นแท้จริงแล้วเป็นศิลปะแห่งการคงความสมดุล เป้าหมายของเราชัดเจนมาก: โดยใช้วิธีที่ถูกต้อง เราจะลดรูปพจน์ทางพีชคณิตที่ซับซ้อนให้เรียบง่ายขึ้นทีละขั้น จนในที่สุดด้านหนึ่งของเครื่องชั่งเหลือแค่ตัวแปรที่ไม่รู้ค่า $x$ เพียงตัวเดียว ส่วนอีกด้านหนึ่งจะแสดงค่าจริงของมันออกมา

คุณสมบัติพื้นฐานสองประการของสมการ

เพื่อเปลี่ยนรูปสมการโดยไม่ทำลายสมดุล เราจำเป็นต้องปฏิบัติตามกฎหลักสองข้อ:

คุณสมบัติ 1 (การคงสมดุลแบบเลื่อน): เมื่อเพิ่ม (หรือลบ) จำนวนเดียวกัน (หรือพจน์เดียวกัน) ทั้งสองข้างของสมการ ผลลัพธ์ยังคงเท่ากัน ซึ่งคล้ายกับการเพิ่มหรือลดน้ำหนักดั้งเดิมที่เท่ากันทั้งสองด้านของเครื่องชั่ง ใช้บ่อยในการ 'กำจัด' พจน์คงที่ที่ซ้ำซ้อนเกินไป
คุณสมบัติ 2 (การคงสมดุลแบบสัดส่วน): 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。这用于调整未知数的系数，让它变回最纯粹的 1。

จดจำไว้: การแก้สมการคือการแปลงสมการให้กลายเป็นรูปแบบ $x = a$ ทีละขั้นตอน คุณสมบัติ 1 ใช้กับการบวก-ลบ คุณสมบัติ 2 ใช้กับการคูณ-หาร เป้าหมายคือให้ $x$ ปรากฏตัวอย่างแท้จริงเสมอ!

สูตรหลัก: หาก $a=b$ แล้ว $a \pm c = b \pm c$; หาก $a=b$ แล้ว $ac = bc$ และ $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (เมื่อ $c \neq 0$)

คำถามที่ 1

ใช้คุณสมบัติของสมการแก้สมการ $x - 5 = 6$ ขั้นตอนแรกที่เหมาะสมที่สุดคือ:

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

บวก 5 เข้าทั้งสองข้างของสมการ

คูณ 5 เข้าทั้งสองข้างของสมการ

หารด้วย 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

คำถามที่ 2

ใช้คุณสมบัติของสมการแก้สมการ $0.3x = 45$ หาค่า $x$ ได้เป็น:

$13.5$

$15$

$150$

$1500$

คำถามที่ 3

แก้สมการ $5x + 4 = 0$ ควรดำเนินการอย่างไร?

ลบ 4 จากทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย 5

บวก 4 เข้าทั้งสองข้าง แล้วหารด้วย 5

หารด้วย 5 จากทั้งสองข้าง แล้วลบ 4

คูณ 5 เข้าทั้งสองข้าง แล้วลบ 4

คำถามที่ 4

ใช้คุณสมบัติของสมการแก้สมการ $2 - \f\frac{1}{4}x = 3$ ได้คำตอบเป็น:

$x = 4$

$x = -4$

$x = 20$

$x = -20$

คำถามที่ 5

เขียนเป็นสมการจากประโยค "จำนวนที่มากกว่า $a$ อยู่ 5 คือ 8" ได้เป็น:

$a - 5 = 8$

$5a = 8$

$a + 5 = 8$

$a + 8 = 5$

คำถามที่ 6

เขียนเป็นสมการจากประโยค "$b$ หนึ่งในสามเท่ากับ 9" ได้เป็น:

$\f\frac{1}{3}b = 9$

$3b = 9$

$b + \f\frac{1}{3} = 9$

$b - 3 = 9$

คำถามที่ 7

เขียนเป็นสมการจากประโยค "สองเท่าของ $x$ รวมกับ 10 เท่ากับ 18" ได้เป็น:

$2x - 10 = 18$

$x^2 + 10 = 18$

$2x + 10 = 18$

$2(x + 10) = 18$

คำถามที่ 8

เขียนเป็นสมการจากประโยค "ผลต่างระหว่างหนึ่งในสามของ $x$ กับ $y$ เท่ากับ 6" ได้เป็น:

$\f\frac{1}{3}x - y = 6$

$\f\frac{1}{3}(x - y) = 6$

$3x - y = 6$

$x - \f\frac{1}{3}y = 6$

คำถามที่ 9

ปัญหาปลูกต้นไม้: ถ้าคนละ 10 ต้น จะเหลือต้นไม้ 6 ต้น ถ้าคนละ 12 ต้น จะขาด 6 ต้น กำหนดจำนวนคนเป็น $x$ สมการที่สร้างจากปริมาณต้นไม้ทั้งหมดเท่ากันคือ:

$10x - 6 = 12x + 6$

$10x + 6 = 12x - 6$

$\f\frac{x}{10} + 6 = \f\frac{x}{12} - 6$

$10(x + 6) = 12(x - 6)$

คำถามที่ 10

ปัญหาปีนเขา: จางฮัวเดินเร็ว $10$ เมตร/นาที ออกเดินก่อน 30 นาที ลี่หมิงเดินเร็ว $15$ เมตร/นาที ถ้าทั้งสองคนขึ้นยอดเขาพร้อมกัน กำหนดเวลาที่ลี่หมิงใช้เป็น $t$ นาที สมการควรเป็น:

$15t = 10(t - 30)$

$15t = 10(t + 30)$

$15(t + 30) = 10t$

$\f\frac{t}{15} = \f\frac{t + 30}{10}$

ท้าทาย: ศิลปะของความเท่ากันในปัญหาเชิงประยุกต์

การสร้างแบบจำลองและฝึกใช้คุณสมบัติของสมการในสถานการณ์จริง

ในปัญหาจริง สมการไม่ได้เชื่อมต่อแค่ตัวเลข แต่ยังเป็นการคงที่ของปริมาณทางฟิสิกส์ ลองมาฝึกสร้างและแก้สมการผ่านกรณีศึกษาที่เป็นที่รู้จักสองกรณีนี้

เคสที่ 1

แผนการแจกจ่ายต้นไม้: คนจำนวนหนึ่งร่วมกันปลูกต้นไม้ ถ้าคนละ 10 ต้น จะเหลือต้นไม้ 6 ต้นที่ยังไม่ได้ปลูก ถ้าคนละ 12 ต้น จะขาดต้นไม้ 6 ต้น จงหาจำนวนคนที่ร่วมปลูกต้นไม้

ขั้นตอนโดยละเอียด:
1. กำหนด: ให้จำนวนคนที่ร่วมปลูกต้นไม้เป็น $x$ คน
2. เขียนสมการ: ปริมาณต้นไม้ทั้งหมดคงที่ แผนที่ 1 รวมเป็น $10x + 6$ แผนที่ 2 รวมเป็น $12x - 6$ สร้างสมการ: $10x + 6 = 12x - 6$
3. แก้สมการ:
ลบ $10x$ จากทั้งสองข้างพร้อมกัน (คุณสมบัติ 1): $6 = 2x - 6$
บวก $6$ เข้าทั้งสองข้างพร้อมกัน (คุณสมบัติ 1): $12 = 2x$
หารด้วย $2$ จากทั้งสองข้างพร้อมกัน (คุณสมบัติ 2): $x = 6$
4. ตอบ: จำนวนคนที่ร่วมปลูกต้นไม้คือ 6 คน

เคสที่ 2

การแข่งขันความเร็วปีนเขา: จางฮัวและลี่หมิงปีนเขาคนละหนึ่งยอด จางฮัวปีนขึ้นทีละ 10 เมตรต่อนาที และออกเดินก่อน 30 นาที ลี่หมิงปีนขึ้นทีละ 15 เมตรต่อนาที ทั้งสองคนขึ้นยอดเขาพร้อมกัน ยอดเขาสูงกี่เมตร?

ขั้นตอนโดยละเอียด:
1. กำหนด: กำหนดเวลาที่ลี่หมิงใช้ในการขึ้นยอดเขาเป็น $t$ นาที ดังนั้นจางฮัวใช้เวลา $(t + 30)$ นาที
2. เขียนสมการ: ความสูงของยอดเขาเท่ากัน $15t = 10(t + 30)$
3. แก้สมการ:
กระจายด้านขวา: $15t = 10t + 300$
ลบ $10t$ จากทั้งสองข้างพร้อมกัน (คุณสมบัติ 1): $5t = 300$
หารด้วย $5$ จากทั้งสองข้างพร้อมกัน (คุณสมบัติ 2): $t = 60$
4. คำนวณ: ความสูงของยอดเขาคือ $15 \times 60 = 900$ เมตร
5. ตอบ: ความสูงของยอดเขาคือ 900 เมตร

✨ ประเด็นหลัก

ทั้งสองข้างของสมการบวกหรือลบกันมือที่คงสมดุลไม่เคยเปลี่ยนแปลง।คูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ 0ทั้งสองข้างต้องทำตามพจน์ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้ค่าได้รับอิสระ।กำจัดพจน์คงที่,แปลงสัมประสิทธิ์،สมการเชิงพีชคณิตหนึ่งตัวแปรแก้ได้ง่ายๆ!

💡 ข้อควรระวังของคุณสมบัติ 2

เมื่อใช้คุณสมบัติ 2 ในการเปลี่ยนรูปแบบการหาร ต้องแน่ใจว่าตัวหารไม่ใช่ 0 ในพจน์พีชคณิต หากหารด้วยพจน์ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้ค่า ต้องระวังเป็นพิเศษ

💡 กฎการกำจัด

คุณสมบัติ 1 ใช้กับการ 'กำจัด' พจน์บวก-ลบ (พื้นฐานของการย้ายพจน์) คุณสมบัติ 2 ใช้กับการ 'แปลงสัมประสิทธิ์ให้เป็น 1' โดยทั่วไปควรทำบวก-ลบก่อน แล้วค่อยคูณ-หาร

💡 ตรวจสอบเป็นนิสัยที่ดี

หลังจากหาค่า $x$ แล้ว นำค่านั้นแทนกลับไปในสมการเดิมทั้งสองข้าง ถ้าทั้งสองข้างเท่ากัน แสดงว่าการจัดการเครื่องชั่งของคุณถูกต้อง!

💡 แนวคิดแบบรวม

ในคุณสมบัติ 1 พจน์ $c$ อาจเป็นจำนวนเดียว หรือเป็นพจน์พีชคณิตที่ซับซ้อนก็ได้ ตราบใดที่ทั้งสองข้างดำเนินการเหมือนกัน สมดุลจะไม่ถูกรบกวน

💡 ต้องใช้หน่วยให้ตรงกัน

เมื่อเขียนสมการเพื่อแก้ปัญหาจริง ต้องตรวจสอบว่าหน่วยของทุกปริมาณสอดคล้องกันหรือไม่ (เช่น นาทีกับชั่วโมง เมตรกับกิโลเมตร)